Мы предлагаем познакомиться с фрагментами из книги американского популяризатора науки Клиффорда Пиковера «Великая математика. От Пифагора до 57-мерных объектов. 250 основных вех в истории математики», вышедшей в русском переводе этой осенью в издательстве «БИНОМ. Лаборатория знаний».

Книга Пиковера об истории математики появилась в 2009 году и получила премию Питера Неймана, присуждаемую Британским обществом истории математики. Книгу также высоко оценил Мартин Гарднер, написавший: «Клиффорд Пиковер, плодовитый писатель и бесспорный эрудит, создал восхитительное справочное издание. <...> Глубокая любовь доктора Пиковера к математике, его трепет перед ее тайнам, проникает в каждую страницу этого прекрасного тома».

Подобно книге «Великая физика», о которой мы уже рассказывали, эта книга состоит из 250 коротких эссе об истории математики, расположенных в хронологическом порядке. С некоторыми из них вы можете познакомиться ниже.

Цикады и простые числа

Цикады – крылатые насекомые, появившиеся ок. 1,8 млн лет назад в эпоху плейстоцена, когда ледники попеременно занимали и оставляли территорию Северной Америки. Цикады из рода Magicicada (так называемые периодические цикады) проводят большую часть своей жизни под землей, питаясь соками корней растений, после чего выбираются на поверхность, где спариваются и быстро умирают. Этим существам свойственна одна удивительная особенность: время их появления из земли соответствует периодам, длительность которых обычно составляет 13 или 17 лет, т. е. является простым числом (простое число – такое целое число, у которого есть только два целых делителя: 1 и оно само, например 11, 13, 17). Весной 13-го или 17-го года своей жизни периодические цикады начинают строить туннель для выхода наружу. Иногда более полутора миллионов особей появляются одновременно на одном акре земли. Подобная массовость является одним из механизмов их выживания, поскольку служит быстрому пресыщению хищников, например птиц. Те просто не успевают съесть всех выбравшихся на поверхность цикад.

Исследователи предполагают, что формирование циклов длиной в простое число лет обусловлено тем, что таким образом повышается вероятность избежать встречи с более короткоживущими хищниками и паразитами. Например, если бы жизненный цикл таких цикад составлял 12 лет, они стали бы более легкой добычей для всей совокупности хищников с продолжительностью жизненных циклов 2, 3, 4 или 6 лет. Марио Маркус из Института молекулярной физиологии Общества Макса Планка (Дортмунд, Германия) вместе со своими коллегами обнаружил, что подобные «простые» циклы складываются естественным образом при математическом моделировании эволюционных изменений в результате взаимодействия «хищник–жертва». В ходе эксперимента моделируемым при помощи компьютера популяциям цикад были изначально приписаны случайные значения длительности жизненных циклов. Спустя определенное время последовательность мутаций неизменно приводила к выработке у моделируемых цикад стабильного цикла из простого числа лет.

Конечно, подобные исследования все еще находятся в зачаточном состоянии и оставляют множество вопросов без ответа. Что такого особенного в 13 и 17 годах? Какие именно хищники и паразиты обусловили именно такой сдвиг длительности жизненного цикла цикад? И по-прежнему остается загадкой, почему из всех известных науке 1500 видов этих насекомых лишь представители небольшого рода Magicicada являются периодическими.

Кость Ишанго

В 1960 г. бельгийский геолог и путешественник Жан де Хайнцелин де Брокур (1920–1998) обнаружил на территории современной Демократической Республики Конго кость павиана с нанесенными на нее отметками. Сначала предполагалось, что кость Ишанго является обычной счетной рейкой, использовавшейся африканцами каменного века. Однако, по мнению некоторых ученых, последовательность насечек свидетельствует о том, что математические способности ее владельца могли превосходить простые навыки счета объектов.

Кость была обнаружена в области Ишанго около верховий реки Нил, на территории которой располагалась стоянка большой группы людей палеолита. Позже эта местность оказалась погребена под пеплом при извержении вулкана. Один из рядов отметок на кости начинается с трех бороздок, число которых затем удваивается до шести. Четыре бороздки сменяются восемью. За десятью бороздками следуют пять. Это может свидетельствовать об общем понимании операций удвоения и деления пополам. Еще более удивительным кажется тот факт, что все числа во втором ряду являются нечетными (9, 11, 13, 17, 19, 21). В третьем ряду содержатся все простые числа между 10 и 20, а сумма всех чисел в каждом из трех рядов равняется либо 60, либо 48, а оба этих числа кратны 12.

Учеными найдено некоторое число палеолитических счетных реек, среди которых имеются и еще более древние, чем кость Ишанго. Например, в местности Лебомбо в Свазиленде была обнаружена малоберцовая кость павиана возрастом 37 000 лет с 29 насечками. Большеберцовая кость волка возрастом 32 000 лет с 57 насечками, разделенными на группы по пять, была найдена в Чехословакии. Хотя подобные построения и являются чисто умозрительными, некоторые исследователи даже выдвинули гипотезу о том, что отметки на кости Ишанго представляют собой некий вид лунного календаря, при помощи которого женщина каменного века отслеживала свой менструальный цикл. Это позволило им выдвинуть тезис: «Менструация породила математику». Даже если кость Ишанго представляет собой простое средство счета, сам факт наносимых для этой цели отметок отличает нас от животных и представляет собой первый шаг к символьным вычислениям. Полностью разгадать загадку кости Ишанго мы сможем только тогда, когда подобных ей объектов будет найдено больше.

Плимптон 322

«Плимптон 322» – название загадочной вавилонской глиняной таблички. В ней содержатся записанные клинописью числа, упорядоченные в таблицу из 4 столбцов и 15 строк. Историк науки Элеанор Робсон описывает ее как «один из самых знаменитых математических артефактов в мире». Табличка датируется ок. 1800 г. до н. э. и представляет собой перечень пифагоровых троек – таких целых чисел, которые соответствуют длинам сторон прямоугольного треугольника и удовлетворяют соотношению a2 + b2 = c2, соответствующему теореме Пифагора. К примеру, пифагорову тройку образуют числа 3, 4, 5. Четвертая колонка таблицы попросту содержит номер строки. Единого мнения относительно назначения чисел в таблице не существует, но некоторые исследователи полагают, что они были набором решений, записанных учащимися при изучении алгебраических или тригонометрических задач.

Табличка «Плимптон 322» названа по имени нью-йоркского издателя Джорджа Плимптона, который в 1922 г. приобрел ее у торговца древностями за 10 долл., а затем передал в дар Колумбийскому университету. Она является памятником древневавилонской цивилизации, сложившейся в Месопотамии – плодородной долине между реками Тигр и Евфрат (территория современного Ирака). Если соотносить время создания таблички с известными историческими фактами, то можно сказать, что безымянный писец, ее автор, жил в пределах столетия относительно эпохи правления царя Хаммурапи, известного своим сводом законов и принципом «око за око, зуб за зуб». Судя по событиям библейской истории, Авраам, о котором говорится, что он увел своих людей к западу от расположенного на берегу Евфрата города Ура в Ханаан, также должен быть близким современником писца.

Вавилоняне писали на влажной глине, выдавливая на ней знаки стилом – особой заостренной палочкой для письма. В вавилонской системе счисления число 1 записывалось в виде единичного штриха, а числа от 2 до 9 представляли собой различные сочетания таких штрихов.

Го

Го – настольная игра для двух игроков, придуманная в Древнем Китае в примерно 2000 г. до н. э. Древнейшее письменное упоминание об этой игре можно найти в тексте «Цзо-Чжуань» («Комментариев Цзо») – раннем образце китайской исторической прозы, в котором упоминается о человеке, игравшем в эту игру в 548 г. до н. э. Из Китая игра в го попала в Японию, где в XIII в. приобрела огромную популярность. Во время игры два игрока поочередно ставят белые и черные камни на точки пересечения линий на игровой доске, разлинованной 19 × 19 линиями (размер классической доски, но могут использоваться и доски с меньшим или большим числом линий). Камень или группа камней считаются захваченными и удаляются с доски, если они полностью окружены камнями противоположного цвета. Цель игры состоит в том, чтобы занять на игровой доске бóльшую территорию, чем противник.

Игра в го сложна по многим причинам. Среди них большой размер игрового поля, многообразие стратегий и огромное число вариантов возможных партий. Простое обладание бóльшим числом камней, чем у противника, не обеспечивает победы. С учетом симметрии имеется 32 940 возможных игровых дебютов, из которых 992 считаются сильными. Число возможных вариантов расположения камней на доске обычно оценивают примерно в 10¹⁷², а число всех возможных партий – примерно в 10⁷⁶⁸. Как правило, игра между двумя хорошими игроками состоит из примерно 150 ходов, а среднее число возможных вариантов хода обычно составляет около 250. Если достаточно мощные программы для игры в шахматы способны победить сильнейших шахматистов, то лучшие программы для игры в го часто проигрывают одаренным школьникам.

Играющим в го компьютерам сложно просчитывать ход игры наперед, поскольку при этом приходится рассматривать гораздо большее число осмысленных вариантов ходов, чем в шахматах. Процесс оценки выгодности определенной позиции также весьма затруднителен, поскольку различие между позициями всего в одной незанятой точке может влиять на судьбу больших групп камней.

В 2006 г. два венгерских исследователя заявили о создании алгоритма, названного ими UCT (от англ. Upper Confidence bounds applied to Trees, алгоритм с использованием верхних доверительных пределов применительно к древовидным структурам), который способен состязаться с профессиональными игроками в го, но лишь на досках, разлинованных 9 × 9 линиями. Алгоритм UCT помогает компьютеру отобрать для дальнейшего анализа наиболее эффективные ходы.

Гиппократовы луночки

Древнегреческие математики были зачарованы присущими геометрии красотой, симметрией и порядком. Разделяя с прочими это страстное увлечение, Гиппократ из Хиоса показал, каким образом можно построить квадрат, равный по площади заданной луночке – серповидной фигуре, образованной выпуклыми дугами двух окружностей. Нахождение Гиппократом квадратуры луночек является одним из наиболее ранних из известных примеров математических доказательств. Другими словами, Гиппократ продемонстрировал, что площадь этих луночек может быть в точности выражена через площадь прямолинейной фигуры, или «квадратуры». В приведенном здесь примере суммарная площадь желтых луночек, касающихся вершин прямоугольного треугольника, равна площади этого треугольника.

Под нахождением квадратуры древними греками понималось построение при помощи циркуля и линейки такого квадрата, площадь которого была бы равна площади заданной фигуры. Если такое построение возможно, о фигуре говорят, что она является квадрируемой. Греки хорошо освоили построение квадратур многоугольников, но задачи нахождения квадратуры криволинейных фигур оказались гораздо сложнее. Собственно, на первый взгляд было весьма сомнительно, что криволинейные объекты вообще можно квадрировать.

Гиппократ также известен тем, что составил первый известный систематический труд по геометрии, сделав это почти за столетие до Евклида. Евклид мог использовать некоторые из идей Гиппократа в собственных «Началах». Сочинения Гиппократа примечательны тем, что они заложили общие структурные основы, от которых могли в дальнейшем отталкиваться другие математики.

Поиски Гиппократом решения для задачи о луночках были попыткой продвинуться в нахождении «квадратуры круга» – построении квадрата, равновеликого (равного по площади) кругу. Математики пытались решить проблему «квадратуры круга» на протяжении более 2000 лет, пока наконец в 1882 г. Фердинанд фон Линдеман не доказал, что это невозможно. Сейчас нам известно, что существует всего пять типов квадрируемых луночек. Три из них были открыты Гиппократом, а два других найдены в середине 1770-х гг.